A note on the computation of the fraction of smallest denominator in between two irreducible fractions

International audienceGiven two irreducible fractions f and g, with f < g, we characterize the fraction h such that f < h < g and the denominator of h is as small as possible. An output-sensitive algorithm of time complexity O(d), where d is the depth of h is derived from this characterization

Representation of Imprecise Digital Objects

International audienceIn this paper, we investigate a new framework to handle noisy digital objects. We consider digital closed simple 4-connected curves that are the result of an imperfect digital conversion (scan, picture, etc), and call digital imprecise contours such curves for which an imprecision value is known at each point. This imprecision value stands for the radius of a ball around each point, such that the result of a perfect digitization lies in the union of all the balls. In the first part, we show how to define an imprecise digital object from such an imprecise digital contour. To do so, we define three classes of pixels : inside, outside and uncertain pixels. In the second part of the paper, we build on this definition for a volumetric analysis (as opposed to contour analysis) of imprecise digital objects. From so-called toleranced balls, a filtration of objects, called λ-objects is defined. We show how to define a set of sites to encode this filtration of objects

Petit manuel de survie en milieu digital

National audienceSaviez-vous que les légos ou Minecraft possèdent leur propre géométrie ? Bien sûr, la dénomination est différente mais il s’agit bien d’étudier les formes que l’on peut construire avec des briques élémentaires à faces carrées. En imagerie, les carrés et les cubes sont respectivement appelés pixels et voxels et trouvent une représentation naturelle dans la grille des entiers Z2 et Z3. Bizarrement, le but premier de cette théorie n’est pas de construire des vaisseaux spatiaux, des châteaux remplis de ninjas ou des villes titanesques mais des droites, des cercles, des sphères ou tout objet mathématique qui ressemble un tant soit peu aux figures de la géométrie élémentaire.En dehors de ses applications ludiques, la géométrie digitale se définit comme la géométrie de Z2, Z3 ou plus généralement Zn, autant dire des espaces peu favorables à la géométrie. Si vous vous aventurez sur le chemin qui mène dans ces contrées hostiles à la pensée mathématique et informatique, vous risquez de croiser le membre de l’une de ses tribus archaïques. Au cas fort improbable où vous arriveriez à communiquer avec cet être primitif, vous en apprendrez peut-être un peu plus sur les raisons étranges qui leur font développer cette géométrie rudimentaire en milieu si hostile :— d’abord sans doute une certaine nostalgie pour les jeux de construction, — pour les esthètes, la beauté de la théorie,— et pour d’autres, l’ambition de jouer aux Mac Gyver de la géométrie mais derrière ces fantaisies extravagantes qui peuvent les rendre sympathiques, voir naïfs ou inoffensifs, se terre un argument de fond qui ne relève pas de la simple lubie mais de l’emprise du numérique sur les sciences et technologies actuelles.De tous temps, les sciences physiques à moyennes et grandes échelles ont guidé le développement d’une partie des mathématiques et en particulier de théories géométriques continues telles que la géométrie différentielle avec en soubassement le corps des nombres réels ou complexes. Ce paradigme (R) a fait ses preuves mais sa nature continue le rend fondamentalement inadapté au traitement des données recueillies par les millions de périphériques qui alimentent les bases de données du monde entier. Les capteurs enregistrent des données sous forme digitale, soit à une résolution fixée des tableaux d’entiers c’est-à-dire des fonctions de Zd à valeur dans Z. Peut-on les traiter comme si c’étaient des fonctions de Rd dans R ? Probablement pas sans précautions mais c’est pourtant la voie la plus courante : l’usager pioche l’outil dont il a besoin dans les mathématiques continues, puis il recherche le moyen de l’appliquer à des structures entières, parfois grâce à un bricolage dont il garde le secret tant il existe d’innombrables façons de faire. Même si le résultat peut s’avérer significatif, passer par les nombres réels, c’est-à-dire une théorie basée sur des suites rationnelles de Cauchy convergentes, pour ensuite l’appliquer dans un cadre entier via des probabilités, une autre théorie ou un subterfuge est un détour considérable. Puisque de très nombreuses données à traiter se présentent sous la forme d’objets composés d’entiers -le b.a.-ba des nombres pourquoi ne pas développer une théorie géométrique qui soit directement adaptée à ce format de données ? C’est le chemin que nous vous proposons d’explorer. Il parcourt un territoire primitif encore largement vierge et donc propice à la recherche. Les agités du bocal dont je vous ai déjà parlé -on pourrait aussi les appeler des pionniers ont bien sûr commencé à le défricher mais en comparaison de l’ampleur de la tâche, on en peut pas dire qu’ils soient très nombreux. C’est un travail en cours, un chantier à ciel ouvert et un terrain de jeu sur lequel il est vivement recommandé de s’aventurer en dehors des chemins balisés. Mais avant de vous lâcher en pleine jungle, nous vous proposons un itinéraire balisé. Alors, remontez vos chaussettes, aspergez-vous de citronnelle, empoignez vos coupe-coupes et suivez le guide..

Efficient Distance Transformation for Path-based Metrics

In many applications, separable algorithms have demonstrated their efficiency to perform high performance volumetric processing of shape, such as distance transformation or medial axis extraction. In the literature, several authors have discussed about conditions on the metric to be considered in a separable approach. In this article, we present generic separable algorithms to efficiently compute Voronoi maps and distance transformations for a large class of metrics. Focusing on path-based norms (chamfer masks, neighborhood sequences...), we propose efficient algorithms to compute such volumetric transformation in dimension $n$. We describe a new $O(n\cdot N^n\cdot\log{N}\cdot(n+\log f))$ algorithm for shapes in a $N^n$ domain for chamfer norms with a rational ball of $f$ facets (compared to $O(f^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\cdot N^n)$ with previous approaches). Last we further investigate an even more elaborate algorithm with the same worst-case complexity, but reaching a complexity of $O(n\cdot N^n\cdot\log{f}\cdot(n+\log f))$ experimentally, under assumption of regularity distribution of the mask vectors

An update on the coin-moving game on the square grid

This paper extends the work started in 2002 by Demaine, Demaine and Verill (DDV) on coin-moving puzzles. These puzzles have a long history in the recreational literature, but were first systematically analyzed by DDV, who gave a full characterization of the solvable puzzles on the triangular grid and a partial characterization of the solvable puzzles on the square grid. This article specifically extends the study of the game on the square grid. Notably, DDV's result on puzzles with two "extra coins" is shown to be overly broad: this paper provides counterexamples as well as a revised version of this theorem. A new method for solving puzzles with two extra coins is then presented, which covers some cases where the aforementioned theorem does not apply. Puzzles with just one extra coin seem even more complicated, and are only touched upon by DDV. This paper delves deeper, studying a class of such puzzles that may be considered equivalent to a game of "poking" coins. Within this class, some cases are considered that are amenable to analysis

Epsilon-covering is NP-complete

International audienceConsider the dilation and erosion of a shape S by a ball of radius ε. We call ε-covering of S any collection of balls whose union lies between the dilation and erosion of S. We prove that finding an ε-covering of minimum cardinality is NP-complete, using a reduction from vertex cover

High toxicity and specificity of the saponin 3-GlcA-28-AraRhaxyl-medicagenate, from Medicago truncatula seeds, for Sitophilus oryzae

<p>Abstract</p> <p>Background</p> <p>Because of the increasingly concern of consumers and public policy about problems for environment and for public health due to chemical pesticides, the search for molecules more safe is currently of great importance. Particularly, plants are able to fight the pathogens as insects, bacteria or fungi; so that plants could represent a valuable source of new molecules.</p> <p>Results</p> <p>It was observed that <it>Medicago truncatul</it>a seed flour displayed a strong toxic activity towards the adults of the rice weevil <it>Sitophilus oryzae</it> (Coleoptera), a major pest of stored cereals. The molecule responsible for toxicity was purified, by solvent extraction and HPLC, and identified as a saponin, namely 3-GlcA-28-AraRhaxyl-medicagenate. Saponins are detergents, and the CMC of this molecule was found to be 0.65 mg per mL. Neither the worm <it>Caenorhabditis elegans</it> nor the bacteria <it>E. coli</it> were found to be sensitive to this saponin, but growth of the yeast <it>Saccharomyces cerevisiae</it> was inhibited at concentrations higher than 100 μg per mL. The purified molecule is toxic for the adults of the rice weevils at concentrations down to 100 μg per g of food, but this does not apply to the others insects tested, including the coleopteran <it>Tribolium castaneum</it> and the Sf9 insect cultured cells.</p> <p>Conclusions</p> <p>This specificity for the weevil led us to investigate this saponin potential for pest control and to propose the hypothesis that this saponin has a specific mode of action, rather than acting <it>via</it> its non-specific detergent properties.</p

Average Curve of n Digital Curves

International audienc

Fast recognition of a Digital Straight Line subsegment: Two algorithms of logarithmic time complexity

International audienceGiven a Digital Straight Line (DSL) of known characteristics (a, b, µ), we address the problem of computing the characteristics of any of its subsegments. We propose two new algorithms that use the fact that a digital straight segment (DSS) can be defined by its set of separating lines. The representation of this set in the Z 2 space leads to a first algorithm of logarithmic time complexity. This algorithm precises and extends existing results for DSS recognition algorithms. The other algorithm uses the dual representation of the set of separating lines. It consists of a smart walk in the so called Farey Fan, which can be seen as the representation of all the possible sets of separating lines for DSSs. Indeed, we take profit of the fact that the Farey Fan of order n represents in a certain way all the digital segments of length n. The computation of the characteristics of a DSL subsegment is then equivalent to the localization of a point in the Farey Fan. Using fine arithmetical properties of the fan, we design a fast algorithm of theoretical complexity O(log(n)) where n is the length of the subsegment. Experiments show that our algorithms are also efficient in practice, with a comparison to the ones previously proposed by Lachaud and Said [1]: in particular, the second one is faster in the case of " small " segments